Треугольник
Вспомним основные определения и формулы планиметрии, относящиеся к понятию «треугольник».В произвольном треугольнике.Медианой треугольника ()называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Длина медианы треугольника выражается формулой:.Длина стороны треугольника через медианы выражается формулой:.Биссектрисой треугольника ()называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.Длина биссектрисы треугольника выражается формулой:.Высота треугольника () – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.Длина высоты: Признаки равенства треугольников:В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.(Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.Внешним углом треугольника ABC при вершине A называется угол, смежный углу треугольника при вершине A.Сумма внутренних углов треугольника:Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника называется средней линией треугольника.Средняя линия треугольника обладает свойством – она параллельна основанию треугольника и равна ее половине.Средняя линия треугольника отсекает от треугольника ему подобный треугольник.Площадь отсекаемого треугольника относится к площади основного треугольника в отношении 1:4.Свойства серединного перпендикуляра отрезка:Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.Свойства биссектрисы угла:Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.Теорема косинусов. В любом треугольнике, квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними: Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов: где  R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.Пусть a, b, c — стороны;   — противолежащие им углы; p — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь;  — высота, проведенная к стороне a.Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону (или половине произведения сторон на синус угла между ними).Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны, называются катетами.Катет прямоугольного треугольника есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: или .Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равновеликих треугольника.Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Прямоугольный треугольник.a, b — катеты; c — гипотенуза;  — проекции катетов на гипотенузу:Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника:Признаки равенства прямоугольных треугольников:Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны.Свойства равнобедренного треугольника:Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны . Каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой.Равносторонний треугольник:Существование окружности, описанной около треугольника:Существование вписанной в треугольник окружности:Признаки подобия треугольников:Признаки подобия прямоугольных треугольников:Пример 1.В треугольнике ABC угол C равен , AB=10, BC=8. Найдите cosA.Решение.Для нахождения cosA необходимо воспользоваться определением косинуса острого угла прямоугольного треугольника. В рассматриваемом треугольнике , где АС — прилежащий катет, АВ — гипотенуза.Вычислим катет АС. Для этого применим теорему Пифагора: , тогда , тогда .Окончательно получаем .Ответ: 0,6.Пример 2.На клетчатой бумаге с клетками размером изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.Решение.Воспользуемся формулой площади треугольника через сторону и высоту, проведенную к стороне: , где а — сторона,  — высота, проведенная к стороне а. Данная задача имеет следующую особенность: высота, проведенная из правой вершины треугольника располагается вне самого треугольника. Однако и в данном случае будет справедлива формула .Обратимся к рисунку: высота треугольника равна 5 см (располагается в данном случае вертикально и равна пяти клеткам), сторона (основание, располагается горизонтально) равна 6 см.Вычислим далее площадь треугольника: см.Ответ: 15.Пример 3.На клетчатой бумаге с клетками размером изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.Решение.Воспользуемся формулой площади треугольника через сторону и высоту, проведенную к стороне: , где а — сторона,  — высота, проведенная к стороне а.Анализируя рисунок, заметим, что высота треугольника равна 4 см (располагается в данном случае вертикально и равна четырем клеткам), сторона (основание, располагается горизонтально) равна 9 см.Переходим к вычислению площади: см.Ответ: 18.Пример 4.Площадь треугольника ABC равна 30 см2. На стороне AC взята точка D так, что AD:DC=2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону BC, равна 9 см. Найти BC.Решение.Проведем BD (см. рис.); треугольники ABD и BDC имеют общую высоту BF; следовательно, их площади относятся как длины оснований, т.е.: откуда С другой стороны или , откуда BC=4 см.Ответ: BC=4 см.Пример 5. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны 10 и 12 см, соответственно. Найти длину основания.Решение.В ABC имеем AB=BC, , , BD=10 см и AE=12 см (см. рис.). Пусть Прямоугольные треугольники AEC и BDC подобны (угол C общий); следовательно, или Применяя теорему Пифагора к BDC, имеем , т.е. .В итоге, мы получили систему уравнений: Решая эту систему, получим . Итак AC=15 см.Ответ: AC=15 см.Пример 6. В треугольнике ABC, AВ=5 см, равен . Найти радиус описанного круга.Решение.По теореме синусов имеем .Значит , т.е. .Последовательно находим , т.е. см.Ответ: см.Пример 7. Внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.Решение.Пусть AB = BC = AC = a.Обозначим O1E = O1K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r =.AO1 — биссектриса угла A, следовательно, и в прямоугольном имеем AO1 = 2O1E = 2r и . Тогда AE + r =, откуда Ответ: .Пример 8.Стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите его высоту, проведенную из вершины большего угла.Решение.202 = 122 + 162400 = 144 + 256400 = 400 верно, следовательно, – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)96 = 10 ВНВН = 9,6Ответ: ВН = 9,6.Пример 9.В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.Дано: – прямоугольный, AC = 15, CB = 10Найти: SCDEF.Решение.Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 – X15 X = 10(15 – X)15 X = 150 – 10 X25 X = 150X = 6DE = DC = 6S кв. = 6 6 = 36Ответ: S кв. = 36 Видеолекция «Треугольник»:
Перейти к выполнению теста: Тест. Треугольник
В начало