Показательные неравенства
Важно помнить при этом, что при a > 1 можно перейти к неравенству, связывающему показатели степеней, знак которого совпадает со знаком исходного неравенства; при 0 < a < 1 показатели будут связаны неравенством противоположного знака. Т.е. если
, то неравенства 
и 
равносильны; если 
, то неравенства и 
равносильны (это следует из того, что при показательная функция возрастает, а при убывает).Составим схемы равносильных преобразований для решения неравенств следующего вида:Пример 1.Решить неравенство: 
где 
Решение.Представим обе части неравенства как степени с основанием 2: 
Ответ: 
Пример 2.Решить неравенство: 
Решение.После замены t = 3x решим систему неравенств: 
Поскольку знаменатель дроби в правой части второго неравенства при t > 0 положителен, можно умножить на него обе части неравенства, превратив его в квадратное: 
Сделаем обратную замену: 
(левая часть неравенства верна при любом х).Ответ: 
Пример 3.Решить неравенство: 
Решение.Перейдем к основанию 3: 
Ответ:
Пример 4.Решить неравенство: 
Решение.Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим ее на множители:(16 – 4x)(5x – 1) > 0. Найдем корни левой части неравенства:- 1 случай. 16 – 4х = 0, х = 2.2 случай. 5х – 1 = 0, х = 0.
Итак, 0 < x < 2.Ответ: (0; 2).Пример 5.Решить неравенство: 
Решение.Запишем неравенство в виде: 
и разделим обе его части на 25x(при делении на положительное число знак неравенства не изменится): 
Сделаем обратную замену: 
. Поскольку основание степени меньше 1, при переходе к показателям знак неравенства меняется: - 1 < x < 0.Ответ: (- 1; 0).Пример 6.Решить неравенство: 
Решение.Замена t = 4x превращает неравенство в иррациональное: 
Ответ: 
Видеолекция «Показательные неравенства»: 
