Тригонометрические уравнения. Часть 1
- 1) в процессе решения применялись алгебраические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (например, сокращение дробей);2) в процессе решения применялись тригонометрические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (речь идет о применении тригонометрических формул, левая и правая части которых имеют различные области определения, например:
;3) в процессе решения применялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
.РешениеОбе части уравнения легко представляются как выражение, зависящее только от tgx:
.Далее, заменой tgx = y, тригонометрическое уравнение рационализуется:
.В итоге 
, т.е. 
и 
.Однако можно заметить, что значения 
также удовлетворяют исходному уравнению. Это потерянные корни. В чем причина? В основе преобразований формулы, сужающие область определения: 
.(в нашем случае 
и 
).Комментарий. Еще раз настойчиво предостерегаем от применения приемов решения уравнений, ведущих к сужению области определения и возможной потере корней.Пример 2.Решить уравнение: 
РешениеПерераспределим компоненты уравнения: 
Далее, в левой части воспользуемся формулой: 
Имеем: 
т.е. 
Теперь представим sin x как синус двойного аргумента:
Перенесем все компоненты уравнения в одну часть и вынесем общий множитель за скобки:
Вновь воспользуемся формулой разности синусов:
Последнее уравнение равносильно совокупности:
Таким образом, уравнение имеет два семейства корней: 
и 
, если 
, и бесконечно много корней: 
если 
Ответ: Если , то 
Если 
, то 
.Рассмотрим также примеры решения комбинированных уравнений
, т.е. уравнений, в которых над переменной, в той или иной комбинации производятся иррациональные, показательно-степенные, логарифмические и тригонометрические операции. Такого рода задания вызывают у абитуриентов определенные трудности. В основе этих трудностей, как правило, лежит некая негативная психологическая установка. Абитуриент как бы говорит себе: «Таких уравнений я в школе не решал; что-то слишком много всего накручено; это мне не по силам». В связи с этим дадим два совета.Совет первый. По внешнему виду задания нельзя судить о его простоте или трудности; трудность — это характеристика не задания, а действенности Ваших знаний и умений. Начинайте решать, пробуйте, пытайтесь, несмотря на то, что задание кажется вам «страшным» и недоступным.Совет второй. Решайте комбинированное уравнение как бы по действиям, отграничивая иррациональную часть решения от логарифмической, логарифмическую от тригонометрической и т.п. Осуществить это можно введением новых переменных. В конце решения осуществляйте тем или иным образом проверку корней.Пример 3.Решить уравнение:
РешениеПусть 
тогда 
. Далее решаем уже не комбинированное, а тригонометрическое уравнение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:
«Тригонометрическая часть» решения завершена; далее необходимо решить показательное уравнение с параметром n:
Прежде всего, выясним, при всех ли n у данного уравнения существуют корни. Ясно, что, поскольку левая часть уравнения как сумма степеней тройки всегда положительна, то условие существования корней уравнения:
Решим это неравенство. Если n >
0, то 
Очевидно, что полученная система 
несовместна. Если n ≥
0, то 
Система 
равносильна неравенству n ≥
0.Таким образом, учитывая, что 
, получаем вывод: корни у данного уравнения существуют при значениях параметра n: n = 0, 1, 2, 3, … . Именно при этом условии решаем далее показательное уравнение.Преобразуем левую часть уравнения по свойствам степени:
Тогда имеем:
Таким образом, 
Это «семейство» логарифмов и составляет множество корней исходного комбинированного (показательно-тригонометрического) уравнения.Ответ: Пример 4.Решить уравнение: 
РешениеПрежде всего, укажем область определения уравнения. Она задается условиями:
т.е. системой 
Пусть теперь 
. Тогда, вместо комбинированного, имеем логарифмическое уравнение с двумя переменными а и b: 
это уравнение преобразуется в уравнение: 
Далее, если положить, что 
то имеем простое рациональное уравнение: 
Его единственный корень — y = 1. Значит, 
т.е. 
Отсюда b = a, т.е. 
Корнями этого тригонометрического уравнения является семейство: 
Нетрудно видеть, что оно удовлетворяет области определения исходного уравнения, а значит, и составляет множество его корней.Ответ: Пример 5.Решить уравнение: 
РешениеЗаметим, что решения всякого уравнения, следует начинать с пристального, внимательного взгляда, призванного увидеть в уравнении, неравенстве и т.п. что-нибудь интересное, особенное, какую-нибудь «изюминку», позволяющую применить при решении некий нестандартный прием. Эта «изюминка» не всегда есть, но проглядеть ее обидно. В данном уравнении маленькая «изюминка» есть: если в правой части уравнения мы воспользуемся (к сожалению часто забытым абитуриентами) свойством логарифма: 
то сразу, как говорится, «убьем двух зайцев»: и избавимся от радикала, и перейдем к одному основанию логарифма.Итак, если r = 2, то 
Далее, имеем тригонометрическое уравнение 
Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:
Решением первого уравнения совокупности является семейство: 
решением второго: 
Необходимо провести проверку найденных корней. Для этого выпишем условия, задающие область определения исходного уравнения:
Ясно, что первое из найденных семейств — семейство посторонних корней, т.к. нарушено условие 
, а из второго семейства посторонними корнями являются корни вида: 
(т.к., в этом случае, хотя 
но 
).Таким образом, корни исходного комбинированного уравнения:
.Ответ: .Пример 6.Решить уравнение: 
РешениеВнесем множитель два в левой части уравнения под логарифм в качестве показателя степени: 
и перейдем к основанию логарифма пять в левой части уравнения:
«Отбрасывая» логарифмы, получаем: 
и далее, учитывая, что 
и переходя к разности дробей в левой части уравнения:
Это квадратное уравнение относительно ctgx, корни которого 1 и -5. Т.е. имеем совокупность: 
Решением первого уравнения совокупности является семейство:
решением второго: 
Здесь применено тождество: 
Далее необходимо провести проверку корней. В качестве способа проверки в данном случае, изберем непосредственную подстановку в исходное уравнение. При этом ясно, что речь идет о подстановке в исходное уравнение лишь одного значения принадлежащего данному семейству. Этого достаточно. Удобнее всего взять значения n = 0 и х = -1. Но можно поступить еще проще: в равносильности совокупностей
,мы не сомневаемся, а поэтому в исходное уравнение можно подставлять непосредственно каждое из получившихся значений ctg x.В каждом случае изберем более удобный из описанных подходов.Пусть 
и n = 0, т.е. 
Тогда имеем:
Таким образом, семейство: входит во множество корней исходного уравнения.Пусть теперь ctg x = -5 (здесь реализуем второй подход, ибо осуществлять непосредственную подстановку x = -arcctg 5 неудобно). Тогда, поскольку 
и 
. Далее, т.к. ctgx <
0, то sin x и cos x должны быть разных знаков; имеем: 
и 
или 
и 
. В первом случае 
во втором случае 
После подстановки в исходное уравнение имеем:
Таким образом, семейство 
также входит во множество корней исходного уравнения.Ответ: 
.Пример 7.Решить уравнение: 
.Решение
По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.
Ответ: 
.Пример 8.Решить уравнение: 
На первом этапе решения уравнения выясним область допустимых значений и выполним тождественные преобразования:
Решением уравнения является:
.Ответ: .Комментарий. Данный прием решения тригонометрического уравнения принято называть методом разложения на множители.Пример 9.Решить уравнение: 
.Используем в процессе решения формулы понижения степени, получим:
После приведения подобных слагаемых получаем уравнение, сводящееся к квадратному уравнению.
Данное уравнение приводится к квадратному с помощью замены переменной.Пусть sin 2x = y, тогда:
или 
Ответ: 
Комментарий. Решение большого количества тригонометрических уравнений сводится к решению квадратных уравнений.Пример 10.Решить уравнение: 
.
или 
Ответ: 
Комментарий. Данный пример иллюстрирует возможность решения тригонометрических уравнений методом преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.Пример 11.Решить уравнение: 
Во-первых, найдем область определения функции, выходящей в данной тригонометрическое уравнение:
Таким образом, областью определения данного уравнения является:
Во-вторых, решим данное уравнение. Для этого выполним следующие тождественные преобразования:
Ответ: 
.Комментарий. Решение тригонометрических уравнений в ряде случаев проводится преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.Пример 12.Решить тригонометрическое уравнение: 
.РешениеИспользуем в процессе решения формулы понижения степени:
Выполнив замену переменных, получим:
или 
Ответ: 
.Комментарий. Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.Пример 13.Решить уравнение: 
Решение
.Используем далее основное тригонометрическое тождество:
Если 
, то и 
, что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит 
.Разделим обе части на 
, получим:
Ответ: 
.Комментарий. Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений как однородных уравнений. Однородное уравнение — это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень:
,где 
— действительные числа, n — показатель однородности.Пример 14.Решить уравнение: 
.Решение
Т.к. 
, следовательно, корни есть.Разделим обе части уравнения на 
, получим:
.Т.к. 
и 
, то существует такой угол ?, что 
, а 
, тогда получим:
Ответ: 
Комментарий. Рассмотренный прием решения тригонометрических уравнений называется методом введения вспомогательного аргумента.Данный метод основан на следующем. Рассмотрим уравнение особого вида:
.Случай 1. Если с = 0, то уравнение однородное.Случай 2. Если с ≠
0 и 
(то есть хотя бы одно из чисел a или b не равно 0), то разделим обе части уравнения на 
, получим:
.Т.к. 
и 
, то существует такой угол ?, что 
, тогда:
Пример 15.Решить уравнение: 
, т.е. 
, т.е. 
, тогда:
.
РешениеПроверим выполнение неравенства: 
.Очевидно, что 
, следовательно, корней уравнение не имеет.Ответ: 
.Пример 16.Решить уравнение: 
Выполним преобразование уравнения, используя формулы «универсальная тригонометрическая подстановка»:
Получаем, что:
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.
Проверка.Если 
, тогда:
.0 + 4 (-1) = 5 — неверно, значит, , не является корнями исходного уравнения.Ответ: 
Комментарий. Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.Пример 17.Решить уравнение: 
Решение
.Пусть 
.Далее возведем записанное равенство в квадрат и воспользуемся формулой «квадрат суммы»:
Получаем, что:
Разделим на cos x ≠
0, получим:
Т.к. 
, при 
, то корней нет.Ответ: 
Пример 18.Решить уравнение: 2cos 2x - 4sin x + 1 = 0.РешениеИспользуем формулу: 
и сделаем замену 
— посторонний корень (учитываем, что 
).Выполним обратную замену: 
.Ответ: 
Пример 19.Решить уравнение: 
.РешениеПрименим следствие из основного тождества 
и сделаем замену t = tg x:
Найдем подбором корень t = -1 и разложим на множители левую часть полученного уравнения: (t + 1)(4t2 - t + 5) = 0. Дискриминант второго множителя отрицателен, следовательно, других корней уравнение не имеет. Обратная замена:
Ответ: 
Комментарий. Приведенные приемы решения тригонометрических уравнений основаны на использовании основного тождества и формул для косинуса двойного угла.Пример 20.Решить уравнение: 
Поскольку 
, a 
, уравнение можно записать в виде: 
. Перед нами так называемое однородное уравнение, для всех слагаемых левой части которого сумма степеней sin 3x и cos 3x одинакова.Проверкой можно убедиться, что cos 3x ≠
0 для корней этого уравнения, поэтому можно разделить обе его части на 
. Сделаем замену: t = tg 3x, тогда 
. Обратная замена:
Ответ: 
Пример 21.Решить уравнение: 5sin 4x - 12cos 4x = 6,5.Решение
Разделим обе части уравнения на 13:
Пусть 
тогда 
, и уравнение принимает вид: 
или 
откуда 
Ответ: 
Пример 22.Решить уравнение: sin 4x + sin 3x + cos 6x + cos 7x = 0.РешениеПреобразуем в произведение сумму синусов и сумму косинусов:
.Теперь запишем левую часть уравнения в виде:
Это равенство возможно в двух случаях.Случай 1: 
Случай 2: 
Применим формулу приведения:
.Тогда:
Это уравнение вновь сводится к двум простейшим:
Ответ: 
.Пример 23.Решить уравнение: 
РешениеПрименим к левой части метод дополнительного угла:
Выберем дополнительный угол так, чтобы получить в левой части формулу для косинуса разности:
Случай 1: 
.Случай 2: 
Ответ: 
Комментарий. Решение примера основано на формуле преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.Пример 24.Решить уравнение: cos 9x + sin 4x sin 5x = 0.РешениеПреобразуем произведение синусов в сумму: 
Тогда
Случай 1: 
Случай 2: 
Ответ: 
Пример 25.Решить уравнение: sin 6x + 3sin 4x cos 2x = 0.РешениеПреобразуем произведение в сумму:
Воспользуемся формулой синуса тройного угла: 
и сделаем замену: t = sin 2x. Решим уравнение для t:
Обратная замена приводит к трем простейшим уравнениям.Случай 1: 
Случай 2: 
Случай 3: 
Объединяя две последние группы корней, получим окончательный ответ.Ответ: 
Комментарий. Рассмотренный пример иллюстрирует использование преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.Пример 26.Решить уравнение: sin 2x - 5 + 5sin x - 5cos x = 0.РешениеСделаем замену: t = sin x - cos x, тогда 
. Следовательно, sin 2x = 1 - t2.Подставим эти выражения в уравнение:1 - t2 - 5 + 5t = 0, t2 - 5t + 4 = 0, t1 = 1, t2 = 4.Очевидно, что разность синуса и косинуса не может равняться четырем, поскольку эти функции не принимают значений, модуль которых превышает 1; поэтому второй корень квадратного уравнения — посторонний. Для t = 1 сделаем обратную замену: sin x - cos x = 1. Применим метод дополнительного угла:
Ответ: 
Пример 27.Решить уравнение: 
.РешениеПоскольку 
, представим 
.Кроме того, 
. Эти преобразования позволяют сделать замену: t = sin 4x и получить для t уравнение:
— посторонний корень.Сделаем обратную замену:
Ответ: 
Комментарий. Данный пример предполагает использование тождеств:
Комментарий. Решение следующих четырех примеров основано на формулах понижения степени. Напомним, что четные степени синуса и косинуса можно понизить переходом к двойному углу с помощью следующих формул:
Пример 28.Решить уравнение: 
.РешениеПонизим степени тригонометрических функций, входящих в уравнение:
Ответ: 
Пример 29.Решить уравнение: 
РешениеПри понижении степени первого слагаемого оно выразится через cos 8x, поэтому у второго слагаемого мы не будем понижать степень, а вместо этого применим к нему основное тождество:
Ответ: 
Пример 30.Решить уравнение: 
РешениеПреобразуем разность четвертых степеней: cos 4x = sin x и применим формулу приведения:
Ответ: 
Пример 31.Решить уравнение: 
РешениеВыразим 
через 
: 
.Ответ: 
Пример 32.Решить уравнение: 
РешениеПонизим степень в левой части уравнения, а в правой преобразуем произведение в сумму:
— посторонний корень.Обратная замена: 
Ответ: 
Пример 33.Решить уравнение: 20tg 8x + 15sin 8x + 2tg 4x = 0.РешениеИспользуем универсальную подстановку:
Случай 1: 
Случай 2: 
— постороннее решение.Тогда 
Ответ: 
Пример 34.Решить уравнение: 
РешениеОбратим внимание на то, что левую часть уравнения с помощью одной из формул универсальной подстановки можно представить как:
— посторонний корень.Обратная замена: 
Ответ: Комментарий. Уравнения, содержащие комбинации 
удобно решать, переходя к синусам и косинусам.Пример 35.Решить уравнение: 8sin 2x + 3 (tg x + ctg x) - 16 = 0.РешениеПреобразуем сумму тангенса и котангенса:
Теперь можно сделать замену:
— посторонний корень.Обратная замена:
Ответ: 
Пример 36.Решить уравнение: 
РешениеВновь выразим левую часть равенства через функции двойного угла:
Теперь уравнение принимает вид:
Случай 1: 
Случай 2: 
Ответ: 
Комментарий. При решении тригонометрических уравнений (группа С) используются те же приемы, что и при решении алгебраических иррациональных уравнений. Особое внимание требуется обращать на дополнительные ограничения на допустимые значения неизвестного (самая распространенная ошибка в задачах этого типа — включение в ответ посторонних корней).Пример 37.Решить уравнение: 
РешениеОДЗ задается неравенством: 
Возведем обе части в квадрат:
Замена 
приводит к уравнению:
— посторонний корень.Обратная замена: 
Ответ: 
Пример 38.Решить уравнение: 
РешениеОбратим внимание на то, что подкоренное выражение представляет собой полный квадрат: 
, следовательно, 
Сделаем замену: t = sin 3x + cos 3x, тогда |t| = 3 - 2t.Случай 1: 
Случай 2: 
— посторонний корень (не соответствует условию раскрытия модуля).Итак, 
.Ответ: 
.Пример 39.Решить уравнение: 
РешениеОграничение на ОДЗ: 
то есть 
. Учитывая это условие, приравняем каждый множитель к нулю.Случай 1: 
— посторонний корень.Следовательно, 
Этим условиям удовлетворяют углы вида 
(вторая группа решений тригонометрического уравнения 
определяет углы, лежащие в четвертой четверти, тангенс которых равен 
).Случай 2: 
Ответ: 
Комментарий. Для решения тригонометрических уравнений с модулями применяются те же приемы, что и для алгебраических уравнений с модулями.Пример 40.Решить уравнение: sin 3x + |sin x| = 0.РешениеВо-первых, 
Во-вторых, 
.Ответ: 
Пример 41.Решить уравнение: |sin 12x| + |sin 18x| = 0.РешениеСумма модулей может равняться нулю только в том случае, если при одном и том же значении х оба подмодульных выражения равны нулю. Следовательно, нужно найти общие корни двух уравнений:
Принципиально важно то, что в решениях указаны разные целочисленные параметры. Для общих корней должно выполняться равенство 
откуда 
Поскольку n — целое число, дробь 
должна быть сократимой, а это возможно только если k кратно трем, то есть 
. Тогда решение уравнения можно записать так:
Ответ: 
Комментарий. Рассмотрим далее тригонометрические уравнения с конечным числом корней. Эти уравнения очень необычны, и конечное число решений связано с тем, что аргумент тригонометрической функции принимает значения из некоторого конечного промежутка.Пример 42.Решить уравнение: 
РешениеНайдем множество значений функции 
Очевидно, что 
Исследуем ее на экстремум.
при х = 0 — найдена критическая точка.Слева от нее 
справа 
то есть это точка максимума. Так как он является единственным экстремумом, то при х = 0 функция принимает свое наибольшее значение: f (0) = 5.Следовательно, 
Решим простейшее тригонометрическое уравнение: 
Из предыдущего исследования получаем, что равенство возможно только при условии 
откуда
Действительно, это единственное целочисленное решение такого неравенства. Тогда
Ответ: 
.Комментарий. В следующем примере рассмотрим комбинированные задачи, в которых применяются известные из алгебры методы решения систем и способы решения тригонометрических уравнений. Важно помнить, что при решении системы ответ каждого простейшего уравнения должен записываться с новым целочисленным параметром, который может принимать любое возможное значение независимо от ранее введенных параметров.Пример 43.Решить систему уравнений: 
РешениеПрименим метод алгебраического сложения: перейдем к системе, уравнениями которой будут сумма и разность исходных уравнений.
.Вновь сложим и вычтем полученные уравнения:
Ответ: 
Пример 44.Решить систему уравнений: 
.РешениеИспользуем подстановку из второго уравнения: 
.Применим формулу приведения:
Ответ: 
.Пример 45.Решить систему уравнений: 
РешениеВычтем первое уравнение из второго и применим формулу 
.
Случай 1: cos 4y = 1, тогда из второго уравнения 
, то есть cos 4x = 0. Получена система двух простейших уравнений:
Случай 2: 
Решая полученную систему простейших уравнений, находим вторую группу корней:
Еще раз напомним, что решение каждого уравнения системы содержит свой целочисленный параметр (решением будет каждая пара чисел, заданная полученными формулами, в которых мы можем задавать n и k любые целые значения, не обязательно одинаковые).Ответ: 
Видеолекция «Тригонометрические уравнения. Часть 1»: 
