������ �����

������ 1

���� � �� �� ������ ���������� �� �������� 3 � 4. � ���� ������ ����� ������� ������. �� ��������� ������ 2 �����. � ������ �� ���� ��������� ����� ���������� ����� ��������� �������������.

��������
������ ����� 5 ������

������ 2

� ������� ���� ����� ���� 15 ����� ������, ������ ��� � ������ ���� ������� �� ���������, ������� � �����.

��������
������ ����� 5 ������

������ 3

��������, �������� ��������� ������.

1 + 6 = 7
+   +
0 + 3 = 3
=   =
1   9
��������
������ ����� 5 ������

������ 4

������ �� ������� �������� ���� ������, � � �������� — ���. ����� �� ���� ��������� ����� ������� ������. ����� 3 �����, ������, �������� 6. ������� ������ � ������ �������� ��� �����. � ��� �����, � � ������ (� �������� �� ������ �� �������).

��������
������ ����� 5 ������

������ �����

������ 1

������ �� �������� 1 ����� ��, ��� �� �������� 6. ������ 2 ����� ��, ��� 5. ������ 3 ����� ��, ��� 4. ������ 7 ���������� �� 1 ���, ��� � ���� ������ ����� ������� � ������ �������, �� 2 — ����. � 3 � 4 ������, � ������� �� 7 �� ������ ������ 2 ����� ������ � ������ ������� � � 7 ������ ������ ���� — �����.

�����: ���� ��� ���������� ������ ����� 7.

��������
������ ����� 5 ������

������ 2

����� ���� ������� �� 4 ���������� �������������, � ������ — �� 8. ������ ���� � 2 ���� ������, ������ � ���� ����� ������ � 2 ���� ������. 15 + 15 = 30

�����: � ������� ���� ����� 30 ����� �������.

��������
������ ����� 5 ������

������ 3

��������, �������� ��������� ������.

2 4 6

7   5

3 8 1
��������
������ ����� 5 ������

������ 4

����� ����� �������� ����� �����, ������, � � � ����� ����� � ����� ������� �� (�������� �����). ����� ����� ����� ����� �����, ������, � � � ����� ����� � ����� ������� ��. ���� �� ���� � ������� ������ ����� �������� � �������, ���� ��� �� ������. ��� �������, ��� ���� �� ������, ������, ������� ����� ��, � �� ���� ��: ����.

������� ���� ����� �����
���� ���� ������ �������
������� �� ���� ������ �����
����� �� ���� ������ �������
���� ���� ������ �����
������� �� ���� ������ �����
��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
���� ������ ����� 1 ����
��� ��� ��� ������ ������ 3 �����
������ ����� 5 ������

������ 5

���� � ����� ������ � ��� � ����� �������� ������ � �������� �������� ������ ����, ������� �� �������� �� ������� ������. ���� ������: �� ������� ������ � ������� ������ �� ������� ������. ����� �������: �� � ������� ������ � ������ ������ �� �������� ������.

�������� 2 ��������: ���� ���� ����� � �������� ������, ���� �����. (�� �����, ������ ��� ����� ���������� ������� �����, �����, ��� �� ������ � ���� �����.) ������ ������� ������� �����������.

1. (������� �����) ������� ����� ���� ������� (������ �����)
2. (������� �����) ������� ���� ����� ������� (������ �����)

���� �������� ������ � ������� ������ �� ������� ������. ����� ������ � ������ ������� 5 ��������. ��������:

1. (������� �����) ������� ����� ���� (5 ��������) (������ �����)
2. (������� �����) ������� ���� ����� (4 ������) (������ �����)

����� �������� ������ � ������ ������ �� �������� ������. ����� ������� � ������� ������� 4 ������.

1. (������� �����) (4 ������) ����� ���� (5 ��������) (������ �����) - ����� 11 ��������
2. (������� �����) (3 ������) ���� ����� (4 ������) (������ �����) - ����� 9 ��������.
� ���� ���� ������ ��� 9 �������� �������
� ���� ���� ����� ���� 9 �������� �����
� ���� ���� ����� ���� 10 �������� �������
� ���� ���� ����� ���� 11 �������� �����
� ���� ���� ����� ���� 12 �������� �������
��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
���� ������ ����� 1 ����
������ ����� 5 ������

������ �����

������ 1

�������� ������ — ��� ��� �������� ������. �������� ������ ������, ��� �������� ������ �� �������� ������, ������, �������� ������ ����� 3 ��. �� ���� ����� ����� ����� (3 ��)*4 = 12 ��.

����� ����� 12 ���������.

��������
������ ����� 5 ������

������ 2

���� ��������� 0 � ������� ����� ������, ����� ������� ����� �������

0 + 7 = 7
+   +   +
1 + 2 = 3
=   =   =
1 + 9 = 10
��������
������ ����� 5 ������

������ 3

����� ���������� �����, � �������� ������ ����� 9 ������ ������ �����, � �������� ������ ����� �� 9. ������� �� 4 9. ��� ����� �������� ������ ������. � ������� ������ ������ �� ������ �����. ������������ �����, ������� ����� ��������, ����� �� 8 ���� ������ — ��� 0. ������� ����� 90.

����:

     _
|_| |_|
  | |_|

�����:

 _   _
|_| | |
 /  |_|
��������
������ ����� 5 ������

������ 4

��� ��������� ������: 3, 7, 23, 27, 30, 32, 70, 72, 203, 207, 223, 227, 230, 232, 270.

��������
���� �� ������ �������� ����� 0 ������
���� �� ���� �������� ����� -1 ���� � ������ ����������
�� 1 �� 4 ������ ����� 1 ����
�� 5 �� 9 ������ ����� 2 �����
�� 10 �� 11 ������ ����� 3 �����
�� 12 �� 14 ������ ����� 4 �����
������ ����� 5 ������

������ 5

���� ������ ������ ������, �� ������ ������, ����� ������ ������ ������� ������, �� ��� ��� ������ ������� — ��������, ��� ��� ���� ������ ������, � ������ ������. ������, ������ �� ��� ������� ������, �� ������. ���� ������ ������, �� ������ �� ������, �� ���� ������ ������. � �������������, ������ ������, ������, ��� ��� ��� �������, ��� ��� ������ ������ ����.

������ ����� ������ �������� �����
������ ����� ������ �������� �������
������ ����� ������ �������� �����
������ ����� � ������ ����� ������� �������� �������
������ ����� � ������ ����� ������� �������� �����
������ ����� � ������ ����� ������� �������� �������
��� ����� ������� ������ �������
��� ����� ������� �������� �������
��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
���� ������ ����� 1 ����
��� ������ ������ 3 �����
������ ����� 5 ������

�������� �����

������ 1

������ ���, ����� �� ������� ����� ������, �������� ���������� ����� ��������: ���� ���� ������ ����������, ���������� �������� � ��������. ������� ��������� ������������ ������ ���� ����� ����. ��� ���� ������ ����� ������ � ����� ��������, ���� ����� ����� � ������ ����� ������. ��������� ������ ����� ������ — ��� ����, � �������� ������� ��� ����, ��� ����� �� ����� ���� �������. ����������, ��� ������ ������ ���� (���� ���� � �������) � ����� �� ������ ��� (��������, ��� ��� ������� �����?�). �������� ��������� ����.

�����: �������� ���������� ����.

��������
������ ����� 5 ������

������ 2

3 ����� ������� � 6 ����� ������ ����� ������, ��� 3 ����� ������� � 2 ���� ������, � ����� �������, �� ��� 4 ����� ������, � � ������ — �� ��� 15-9 = 6 ������ ��������. �� ���� 4 ���� ������ ����� ������� ��, ������� 6 ������ ��������. 2 ���� ������ ����� ������� ��, ������� 3 ����� ��������. 2 ����� �������� � 2 ���� ������ ����� ������� ��, ������� 2+3=5 ������ ��������. 5*10 = 50

�����: 50 ��.

��������
������ ����� 5 ������

������ 3

����� ���� ����� �� 0 �� 7 ����� 28.

����� ����� ����� ������� � ������ ������ ����� 9, ������, ����� ����� � 8 � 4 ������� ����� 28-9-9=10.

����� ����� ����� ������ � ����� ������ ����� 9, ������, ����� ����� �� 2 � 6 ������� ����� 28-9-9=10.

����������, ��� ����� ����� � ������� � �������� 2, 4, 6, 8 ����� 10+10 =20

�����: 20.

��������
������ ����� 5 ������

������ 4

� ������ ������� ������� — 2 �������� ����� �����. ���� ���� �� � ����� �� ���� ������ ���� �����, ������ ������ ���� ������� ����� ������ ������ ������, ��� ������, ������ ������� ������� ��� (��� ��� ���� ������ ������, ���� ������ ������� ��, ������� ������). �� ���� �������� ���� � ������� ������� ������ ���� ��� ��� ������ ���� �������.

����������, ��� ���� ����� �������� � ��������� ������� �� �����-�� ������� ��������, �� �� ���� ��� �������� ����� ���� ������� ���� ������ ���� �����. ����� ���� 4 ��������� ������� — �������� � �����������.

1. ���� �� ���� 4 ��������, �������� � �����������, ����� �������, �� � ����������� ������ ���� ���� �������� � � ������� ������� ���� ����� �������. � ���� ������ 0 ������.

� � �
� � �
� � �

���� � ����� �� ������, �������� � �����������, ����� �����, � �� ���� ��������� — �������, �� � ������ ���� ���� ��������. ����� �� ���� �������� �� ������� ����� ���� ����� �����, � �� ���� ��������� — �������. ���������� 3 �����.

� � �
� � �
� � �

� ��������� ������� � ����������� ������� ���� �����. � ���� ���� �� ������ 2 �������-������. ��� 2 �����-������ ������������ ����� ����� ���� ���� �� ��������������� �������� ��������, ���� �� ��������. � ������ ������

� � �
_ � _
� � �

��� ��� ������� ������ �������, ����� ���������� 2 �������, �������� � �����������, ���� ������ �������, ������ ��� � ��� 3 ������ — �����. ���������� 9 ������.

���� 2 �����-������ ���������� ����� �� �������� ��������, ��� ������� ��������� �������� �������

� * _
� � *
� � �

� ������� ������, ���������� * ��� ���� 2 ������-�����, ������, � * ���� ����� �����. ����������, ��� � ������� ������� ����� �����. ���������� 9 ������.

�����: 0, 3 ��� 9 ������.

��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
���� ������ ����� 1 ����
��� ������ ������ 3 �����
������ ����� 5 ������

������ 5

�� ����������� ��������� ������ ������������ ���������� ������ (� ����� 40 ���). ����� — ���������� ��������, ������� 60 (� ����� 65 ���), � ����� — ���������� ������������.

�����: �� ������ �������� 60*2+40 = 160, �� ������ �������� 10*3+1 = 31, �� ������� �������� 60*6+9 = 369.

��������
������ ����� 2 ����� �� ������ �����

����� �����

������ 1

�����: 9 ������.

�����������, ��� ����� ���������� ������� �� ������ � ������ ������� �� ����� 8. � ����� ������ �� ����� 81 ���� (����� ����������� ����� �����). ������ ������� �������� 12 �����. ������, 7 ������� �������� 84 ����, ������ 84 ≥ 81.

������������.

��������
������ ����� 5 ������

������ 2

�����: 1210

�����������, ���� ����� ������. ����� ��� ������ ����� ����� 1, � ��� ������ ����� �� ��������� 2. ��������� ������ ����� ��������� ���������� ������, ���� ������ ����� ����� 2, ����� �� ������ 1210. ������, ������ ����� ����� 1 (���� ��� ���� �� ����� � ���� ����������������� ������� �����), � ������ — ����. �� ����� �������� ����� ������ ���� ����� -1.

������������.

��������
������ ����� 5 ������

������ 3

  1. �������; �����������: ��� 10 ������, �������� 9 ������, ���� 2 �����.
  2. �������; �����������: ��� 10 ������, �������� 6 ������, ���� 8 ������.
  3. �����; ���� �� ���� ����� �� ������ ���� �������, �� 2 ���� ������ ��
  4. �� ������ 2 ������, ��� ������������ �������
  5. �����; ���� �� ��� ����� �� ������ ���� �������, ��� � ��� ������ �� ������ ���� ������� � �����
  6. �������.
��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
���� ������ ����� 1 ����
������ ����� 5 ������

������ 4

�����: ������� ��� �����������

����� ���������� ����� �������������� ��� ��� ������������, ������������ �� ������ �����. ��������������� ����� �������� ���� �� 29 ���� (4 ������ ���� �����������), ������ ���������� ����� � �����������, ����������� ��� ������� (����� ���������� ��� �� ������ 32 ����). ������ ������� ��������, ��� ���� ����� ���������� � �����������, �� ������ ����������� ���������� �� 2-� �����, � ��� �����.

��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
���� ������ ����� 2 �����
������ ����� 5 ������

������ 5

��. ������� ����������� ������ 4 ������

��������
������ ����� 2 ����� �� ������ �����

������ �����

������ 1

�����: 2, 3, 5

1) ����� ������ ����� �������. ����� ������������ �� ������� �� �������� ������ ���� ����� (� ���� ������ ������������). �� ������ � �������� �� ����� ���� ������������ �������. ������������.

2) ����� ������ ����� �������. ����� ������ � ������ ���������, �� ��� ���� ������� ����������� �� ���������� �� ������ � ������� ������������ ��� �� �����������.

3) ����� ������ ����� �������. ����� ������ ��������� (� ���� ��������� ������������). ������ ���� ���������, ������� ��� ������ ������������ �����. ������, ��� ������������ �������� ����� �������. ������ ������� ����������� ���.

4,5,6) �������� ���������, ��� � �������, ������������� � ��. 2 � 3 ����� ��� ������ ������������. ��������, ��������������, ���� 3.

��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
���� ������ ����� 1 ����
��� ������ ������ 3 �����
������ ����� 5 ������

������ 2

�����: 14 � 5.

���� �� ��� ��� �������� 4 ���, �� ������ ������ �� �� 36 ����� ������. ������, �� 6 ���� ����������� ������ 30 �����. �� ���� � ���� 5 �����. � ������ — 14 �����.

��������
������ ����� 5 ������

������ 3

�����: 2, 3, 5

����� ����� ���������� S ��, �������� ������ V ��/�. ��������� �� ����� ������� �� A 24 ��, �� ����� �� ������� ����� (24/V) �.

����� S = (24/V)(6+V) = 1*V + 24.

������ 6*24 / V = V ��� 36*4 = V2.

������� V = 6*2 = 12.

��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
���� ������ ����� 1 ����
��� ������ ������ 3 �����
������ ����� 5 ������

������ 4

�����: 120 ������

����� �������� ��� (������) ����� � �/���, � �������� ����� ����� � �/���. ����� 30*� = 10*(�-�), ������ � = 4�.

���� ��� ��������� � 3 ����, �� ����� ����������� 30*3� / (4� - 3�) = 90 ������ ��� ������ ��� ����� ��������� �������� ����������. ���� ��� 30 ������ ��������� ����������.

��������
������ ����� 5 ������

������ 5

��. ������� ����������� ������ 4 ������

��������
������ ����� 2 ����� �� ������ �����

������� ����� � ����

������ 1

�����: 37 �������.

���� �� ���������� ������� ������� 1, ��������� �����, ��������� ������ �� 2, 3 � 4. ����� ����� ������� �������� �� 12 (3 � 4 ������� ������).

��������� ����� ������������� �����, ��������� �� 12, �������� ������ ���������� ����� 36. ������, � �������� ���� 37 �������.

��������
������ ����� 5 ������

������ 2

�����: 2, 4, 6, 7.

����� ���� ������� ����� (�� ������� ����������� ������) � ��, � ������ — � ��. ����� ����� ������� ���������:

�/10 + �/20 = 2
�/10 + �/20 = 5/2

������� ������������ �������

2� + � = 40
2� + � = 50

������� ��� ������ ��������� �� �������, ��������, ��� �=20. ������ �=10.

��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
2 ������ ������ 1 ����
3 ������ ������ 3 �����
������ ����� 5 ������

������ 3

�����: 1, 3, 4, 7.

������ ��� (������ � ������ �� ����� ������������ �����).

�������� ����, ������� ������ — ���������, � �������� — �����.

������ � ������ �� ����� ������������ �������� ������ � ��� ��� �����. ������, ���� �� ��� �����, � ������ — ���������. ������ ���, ������� �� �����. ������, ������ — ���������.

��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
1 ������ ����� 1 �����
2 ������ ������ 2 �����
3 ������ ������ 3 �����
������ ����� 5 ������

������ 4

��������, �������� ��������� ������.

7 3 6

4   5

2 8 1
��������
������ ����� 5 ������

������ 5

�����: 5, 7, 9, 11, 13.

����� ���� � ��������� ������ ������� ��������, ������ ����� � �� ��� ��������� � ��������. �����, ��������� ��������� ���������� ������ (������ ���������� ������, � ������� ���������� ������ �� ���������), ������� ���������:

a1 + a2 + ... + a� + 
+ b1 + b2 + ... + b�-� +
+ � = 14

� ������� ai � bj — ���������� ������, � ������� ����������� ��������������� ��������. ���� ������� ��� ������� ����� ������ ��������� �� 2, �������:

(�-�) + � = 0 (�� ������ 2)

������� ��������� ������ ������� ������ ����������. �� ���� ����� ���������� ��������� �������.

���� ��������� 3 ��� ������, �� ������ �� ����� 6. ������, ��������� ���� �� 5. ���� ��������� 15 ��� ������, �� ������ �� ����� 8. ��� ��������� �������� ��������: ��� ������� �� ��� ����� �������� ��������������� ������.

��������
���� �� ���� �������� ����� 0 ������
1 ��� 2 ������ ����� 1 ����
3 ��� 4 ������ ����� 3 �����
������ ����� 5 ������